解 根据下列恒等式:
(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1 (1)
可推导出:
1^3+2^3+3^3+…+n^3=[n(n+1)/2]^2 (2)
具体计算如下:
记S(1)=1+2+3+…+n 。
S(2)=1^2+2^2+3^2+…+n^2。
S(3)=1^3+2^3+3^3+…+n^3。
根据恒等式(1)得:
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^2+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1
将上述n个式相加得:
(n+1)^4-1=4S(3)+6S(2)+4S(1)+n
其中
S(2)=1^2+2^2+3^2+…+n^2=2(n+1)*(2n+1)/6, (3)
(3)式可根据下面恒等式求得:
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 (4)
S(1)=n(n+1)/2 (5)
以下计算自己完成。
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