初二数学 急求答案

2个月前 (10-03 12:57)阅读2回复0
小强
小强
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  解 根据下列恒等式:

(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1 (1)

可推导出:

1^3+2^3+3^3+…+n^3=[n(n+1)/2]^2 (2)

具体计算如下:

记S(1)=1+2+3+…+n 。

S(2)=1^2+2^2+3^2+…+n^2。

S(3)=1^3+2^3+3^3+…+n^3。

根据恒等式(1)得:

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1

3^4-2^4=4*2^2+6*2^2+4*2+1

4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1

(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1

将上述n个式相加得:

(n+1)^4-1=4S(3)+6S(2)+4S(1)+n

其中

S(2)=1^2+2^2+3^2+…+n^2=2(n+1)*(2n+1)/6, (3)

(3)式可根据下面恒等式求得:

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 (4)

S(1)=n(n+1)/2 (5)

以下计算自己完成。

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