1的立方+2的立方+······+n的立方=（1+2+3····+n)的

  用数学归纳法。

S1=1^3=1^2

S2=1^3+2^3=9=3^2=(1+2)^2

S3=1^3+2^3+3^3=36=6^2=(1+2+3)^2

S4=1^3+2^3+3^3+4^3=100=10^2=(1+2+3+4)^2

S5=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2=(1+2+3+4+5)^2

假设当n=k时，有Sk=1^3+2^3+。

  。。+k^3=(1+2+。。。+k)^2

则当n=(k+1)时，

S(k+1)=Sk+ak=(1+2+。。。+k)^2+(k+1)^3

=[k(k+1)/2]^2+(k+1)^3

=(k+1)^2[k^2/4+k+1]

=(k+1)^2[(k^2+4k+4)/4]

=(k+1)^2(k+2)^2/4

=[(k+1)(k+2)/2]^2

=(1+2+。

  。。+k+1)^2

同样成立。

综上，得

1^3+2^3+。。。+n^3=[1+2+3+。。。+n]^2