问题 在三角形ABC中，求证
√[tg(B/2)*tg(C/2)+5]+√[tg(C/2)*tg(A/2)+5]+√[tg(A/2)*tg(B/2)+5]≤4√3
证明 设k>0，根据三角形三角恒等式:
tg(B/2)*tg(C/2)+tg(C/2)*tg(A/2)+tg(A/2)*tg(B/2)=1
则有
tg(B/2)*tg(C/2)+k+tg(C/2)*tg(A/2)+k+tg(A/2)*tg(B/2)+k=1+3k
再由均值不等式:
(√x+√y+√z)^2≤3*(x+y+z) (1)
令x=tg(B/2)*tg(C/2)+k,y=tg(C/2)*tg(A/2)+k,z=tg(A/2)*tg(B/2)+k，将其代入(1)式得:
{√[tg(B/2)*tg(C/2)+k]+√[tg(C/2)*tg(A/2)+k]+√[tg(A/2)*tg(B/2)+k]}^2≤3[tg(B/2)*tg(C/2)+tg(C/2)*tg(A/2)+tg(A/2)*tg(B/2)+3k]=3*(1+3k),所以得:
√[tg(B/2)*tg(C/2)+k]+√[tg(C/2)*tg(A/2)+k]+√[tg(A/2)*tg(B/2)+k]≤√[3*(1+3k)] (2)
在(2)式中取k=5，即得所证不等式。
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