根本函数 英文 缩写 表达式 语言描述 正弦函数 Sine sin a/h ∠A的对边比斜边 余弦函数 cosine cos b/h ∠A的邻边比斜边 正切函数 Tangent tan a/b ∠A的对边比邻边 余切函数 Cotangent cot b/a ∠A的邻边比对边 正割函数 Secant sec h/b ∠A的斜边比邻边 余割函数 Cosecant csc h/a ∠A的斜边比对边 同角三角函数的根本关系 倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系： sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)通俗针对差别前提的常用的两个公式 sin² α cos² α=1 tan α *cot α=1一个特殊公式 （sina sinθ）*（sina sinθ）=sin（a θ）*sin（a-θ） 证明：（sina sinθ）*（sina sinθ）=2 sin[(θ a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a θ）*sin（a-θ）锐角三角函数公式 正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1。
Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2。Cos2a=1-2Sin^2(a) 3。Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3 α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3 α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3 a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a 2a) =sin2acosa cos2asina =2sina(1-sin²a) (1-2sin²a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60° sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60 a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60° a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)^2] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a 30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a 30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a 30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90° (60° a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60° a)] =4cosacos(60°-a)cos(60° a) 上述两式比拟可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60° a)n倍角公式 sin（n a）=Rsina sin（a π/n）……sin（a （n-1）π/n）。
此中R=2^（n-1） 证明：当sin（na）=0时,sina=sin（π/n）或=sin（2π/n）或=sin（3π/n）或=……或=sin【（n-1）π/n】 那阐明sin（na）=0与｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1）π/n】=0是同解方程。
所以sin（na）与｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1）π/n】成反比。 而（sina sinθ）*（sina sinθ）=sin（a θ）*sin（a-θ）,所以 ｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1π/n】 与sina sin（a π/n）……sin（a （n-1）π/n）成反比（系数与n有关 ,但与a无关,记为Rn）。
然后考虑sin（2n a）的系数为R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n。易证R2=2,所以Rn= 2^（n-1）半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1 cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1 cosA)/sinA。
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1 cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1 cos(a)) 和差化积 sinθ sinφ = 2 sin[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ cosφ = 2 cos[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA tanB=sin(A B)/cosAcosB=tan(A B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1 tanAtanB)两角和公式 cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβsin(α β)=sinαcosβ cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差 sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α β)] /2 cosαcosβ = [cos(α β) cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α β) sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α β)-sin(α-β)]/2双曲函数 sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 设α为肆意角,末边不异的角的统一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为肆意角,π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三： 肆意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四： 操纵公式二和公式三能够得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五： 操纵公式-和公式三能够得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2 α）= cosα cos（π/2 α）= -sinα tan（π/2 α）= -cotα cot（π/2 α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2 α）= -cosα cos（3π/2 α）= sinα tan（3π/2 α）= -cotα cot（3π/2 α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt θ) B·sin(ωt φ) = √{(A² B² 2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt arcsin[ (A·sinθ B·sinφ) / √{A^2 B^2; 2ABcos(θ-φ)} } √表达根号,包罗{……}中的内容诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2 α) = cosα cos(π/2 α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π α) = -sinα cos(π α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背窍门：奇变偶稳定,符号看象限全能公式 sinα=2tan(α/2)/[1 (tan(α/2))²] cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1 (tan(α/2))²] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²] 其它公式 (1) (sinα)² (cosα)²=1 (2)1 (tanα)²=(secα)² (3)1 (cotα)²=(cscα)² 证明下面两式,只需将一式,摆布同除(sinα)²,第二个除(cosα)²即可 (4)关于肆意非曲角三角形,总有 tanA tanB tanC=tanAtanBtanC 证: A B=π-C tan(A B)=tan(π-C) (tanA tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1 tanπtanC) 整理可得 tanA tanB tanC=tanAtanBtanC 得证 同样能够得证,当x y z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 由tanA tanB tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB cotAcotC cotBcotC=1 (6)cot(A/2) cot(B/2) cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA）² (cosB）² (cosC）²=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）² （sinB）² （sinC）²=2 2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) 编纂本段内容法例 三角函数看似良多,很复杂,但只要掌握了三角函数的素质及内部法例就会发现三角函数各个公式之间有强大的联络。
而掌握三角函数的内部法例及素质也是学好三角函数的关键所在。 1、三角函数素质： [1] 根据右图,有 sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 深入理解了那一点,下面所有的三角公式都能够从那里动身推导出来,好比以推导 sin(A B) = sinAcosB cosAsinB 为例： 推导： 起首画单元圆交X轴于C,D,在单元圆上有肆意A,B点。
角AOD为α,BOD为β,扭转AOB使OB与OD重合,构成新A'OD。 A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α-β)-1]^2 [sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2 (sinα-sinβ)^2 和差化积及积化和差用复原法连系上面公式可推出（换(a b)/2与(a-b)/2） 单元圆定义 单元圆 六个三角函数也能够根据半径为一中心为原点的单元圆来定义。
单元圆定义在现实计算上没有大的价值；现实上对大都角它都依靠于曲角三角形。但是单元圆定义确实容许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不但是关于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它也供给了一个图象,把所有重要的三角函数都包罗了。根据勾股定理,单元圆的等式是： 图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。
逆时针标的目的的度量是正角,而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同 x 轴正半部门得到一个角 θ,并与单元圆订交。那个交点的 x 和 y 坐标别离等于 cos θ 和 sin θ。图象中的三角形确保了那个公式；半径等于斜边且长度为1,所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。
单元圆能够被视为是通过改动邻边和对边的长度,但连结斜边等于 1的一种查看无限个三角形的体例。
两角和公式 sin(A B) = sinAcosB cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB sinAsinB tan(A B) = (tanA tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1 tanAtanB) cot(A B) = (cotAcotB-1)/(cotB cotA) cot(A-B) = (cotAcotB 1)/(cotB-cotA)。