R语言Fama-French三因子模子现实利用：优化投资组合|附代码数据
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比来我们被客户要求撰写关于Fama-French三因子模子的研究陈述，包罗一些图形和统计输出。
本文将阐明金融数学中的R 语言优化投资组合，Fama-French三因子（因素）模子的实现和利用
具有单一市场因素的宏看经济因素模子
我们将从一个包罗单个已知因子（即市场指数）的简单示例起头。该模子为
此中显式因子ft为S＆P 500指数。我们将做一个简单的最小二乘（LS）回回来估量截距α和加载β：
大大都代码行用于预备数据，而不是施行因子建模。让我们起头预备数据：
# 设置起头完毕日期和股票名称列表
begin_date - "2016-01-01"
end_date - "2017-12-31"
# 从YahooFinance下载数据
data_set - xts()
for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
data_set - cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],
from = begin_date, to = end_date,
head(data_set)
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# AAPL AMD ADI ABBV AEZS A APD AA CF
# 2016-01-04 98.74225 2.77 49.99239 49.46063 4.40 39.35598 107.89010 23.00764 35.13227
# 2016-01-05 96.26781 2.75 49.62508 49.25457 4.21 39.22057 105.96097 21.96506 34.03059
# 2016-01-06 94.38389 2.51 47.51298 49.26315 3.64 39.39467 103.38042 20.40121 31.08988
# 2016-01-07 90.40047 2.28 46.30082 49.11721 3.29 37.72138 99.91463 19.59558 29.61520
# 2016-01-08 90.87848 2.14 45.89677 47.77789 3.29 37.32482 99.39687 19.12169 29.33761
# 2016-01-11 92.35001 2.34 46.98954 46.25827 3.13 36.69613 99.78938 18.95583 28.14919
head(SP500_index)
# index
# 2016-01-04 2012.66
# 2016-01-05 2016.71
# 2016-01-06 1990.26
# 2016-01-07 1943.09
# 2016-01-08 1922.03
# 2016-01-11 1923.67
plot(SP500_index)
# 计算股票和SP500指数的对数收益率做为显式因子
X - diff(log(data_set), na.pad = FALSE)
N - ncol(X) # 股票数量
T - nrow(X) # 天数
如今我们预备停止因子模子拟合。LS拟合很随便在R中实现，如下所示：
beta - cov(X,f)/as.numeric(var(f))
alpha - colMeans(X) - beta*colMeans(f)
sigma2 - rep(NA, N)
print(alpha)
# index
# AAPL 0.0003999086
# AMD 0.0013825599
# ADI 0.0003609968
# ABBV 0.0006684632
# AEZS -0.0022091301
# A 0.0002810616
# APD 0.0001786375
# AA 0.0006429140
# CF -0.0006029705
print(beta)
# index
# AAPL 1.0957919
# AMD 2.1738304
# ADI 1.2683047
# ABBV 0.9022748
# AEZS 1.7115761
# A 1.3277212
# APD 1.0239453
# AA 1.8593524
# CF 1.5702493
或者，我们能够利用矩阵表达法停止拟合，我们定义和扩展因子。然后最小化
t(X) %*% F_ %*% solve(t(F_) %*% F_)
# alpha beta
# AAPL 0.0003999086 1.0957919
# AMD 0.0013825599 2.1738304
# ADI 0.0003609968 1.2683047
# ABBV 0.0006684632 0.9022748
# AEZS -0.0022091301 1.7115761
# A 0.0002810616 1.3277212
# APD 0.0001786375 1.0239453
# AA 0.0006429140 1.8593524
# CF -0.0006029705 1.5702493
E - xts(t(t(X) - Gamma %*% t(F_)), index(X)) # 残差
别的，我们能够简单地利用R为我们完成工做：
cbind(alpha = factor_model$alpha, beta = factor_model$beta)
# alpha index
# AAPL 0.0003999086 1.0957919
# AMD 0.0013825599 2.1738304
# ADI 0.0003609968 1.2683047
# ABBV 0.0006684632 0.9022748
# AEZS -0.0022091301 1.7115761
# A 0.0002810616 1.3277212
# APD 0.0001786375 1.0239453
# AA 0.0006429140 1.8593524
# CF -0.0006029705 1.5702493
可视化协方差矩阵
有趣的是，可视化对数收益率[算术处置误差]以及残差Ψ的估量协方差矩阵。让我们从对数收益率的协方差矩阵起头：
main = "单因子模子对数收益的协方差矩阵")
点击题目查阅往期内容
Python基于粒子群优化的投资组合优化研究
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01
02
03
04
我们能够看察到所有股票都是高度相关的，那是市场因素的影响。为了查抄股票相关关系，我们绘造相关图：
plot(cov2cor(Psi),
main = "残差协方差矩阵")
cbind(stock_namelist, sector_namelist) # 股票的行业
# stock_namelist sector_namelist
# [1,] "AAPL" "Information Technology"
# [2,] "AMD" "Information Technology"
# [3,] "ADI" "Information Technology"
# [4,] "ABBV" "Health Care"
# [5,] "AEZS" "Health Care"
# [6,] "A" "Health Care"
# [7,] "APD" "Materials"
# [8,] "AA" "Materials"
# [9,] "CF" "Materials"
有趣的是，我们能够看察到对Ψ施行的主动聚类能够准确识别股票的行业。
评估投资资金
在此示例中，我们将基于因子模子评估几种投资基金的绩效。我们将原则普尔500指数做为明白的市场因素，并假设无风险收益为零 rf = 0。特殊是，我们考虑六种交易所买卖基金（ETF）：
我们起首加载数据：
# 设置起头完毕日期和股票名称列表
begin_date - "2016-10-01"
end_date - "2017-06-30"
# 从YahooFinance下载数据
data_set - xts()
for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
data_set - cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],
head(data_set)
# SPY XIVH SPHB SPLV USMV JKD
# 2016-10-03 203.6610 29.400 31.38322 38.55683 42.88382 119.8765
# 2016-10-04 202.6228 30.160 31.29729 38.10687 42.46553 119.4081
# 2016-10-05 203.5195 30.160 31.89880 38.02249 42.37048 119.9421
# 2016-10-06 203.6610 30.160 31.83196 38.08813 42.39899 120.0826
# 2016-10-07 202.9626 30.670 31.58372 37.98500 42.35146 119.8296
# 2016-10-10 204.0197 31.394 31.87970 38.18187 42.56060 120.5978
head(SP500_index)
# index
# 2016-10-03 2161.20
# 2016-10-04 2150.49
# 2016-10-05 2159.73
# 2016-10-06 2160.77
# 2016-10-07 2153.74
# 2016-10-10 2163.66
# 计算股票和SP500指数的对数收益率做为显式因子
X - diff(log(data_set), na.pad = FALSE)
N - ncol(X) # 股票数量
T - nrow(X) # 天数
如今我们能够计算所有ETF的alpha和beta：
# alpha beta
# SPY 7.142225e-05 1.0071424
# XIVH 1.810392e-03 2.4971086
# SPHB -2.422107e-04 1.5613533
# SPLV 1.070918e-04 0.6777149
# USMV 1.166177e-04 0.6511667
# JKD 2.569578e-04 0.8883843
如今能够停止一些看察：
SPY是S＆P 500的ETF，如预期的那样，其alpha值几乎为零，beta值几乎为1：α= 7.142211×10-5和 β= 1.0071423。
XIVH是具有高alpha值的ETF，计算出的alpha值是ETF中更高的（高1-2个数量级）：α= 1.810392×10-3。
SPHB是一种ETF，据揣度具有很高的beta，而计算出的beta却是更高的，但不是更高的：β= 1.5613531。有趣的是，计算出的alpha为负，因而，该ETF应隆重。
SPLV是降低颠簸性的ETF，现实上，计算得出的beta偏低：β= 0.6777072。
USMV仍是降低颠簸性的ETF，现实上，计算出的beta是更低的：β= 0.6511671。
JKD展现出很好的折衷。
我们能够利用一些可视化：
barplot(rev(alpha), horiz = TRUE, main = "alph
我们还能够利用例如Sharpe比率，以更系统的比力差别的ETF。回忆一种资产和一个因素的因子模子
我们获得
夏普比率如下：
假设。因而，基于Sharpe比率对差别资产停止排名的一种办法是根据α/β比率对它们停止排名：
print(ranking)
# alpha/beta SR alpha beta
# XIVH 7.249952e-04 0.13919483 1.810392e-03 2.4971086
# JKD 2.892417e-04 0.17682677 2.569578e-04 0.8883843
# USMV 1.790904e-04 0.12280053 1.166177e-04 0.6511667
# SPLV 1.580189e-04 0.10887903 1.070918e-04 0.6777149
# SPY 7.091574e-05 0.14170591 7.142225e-05 1.0071424
# SPHB -1.551287e-04 0.07401566 -2.422107e-04 1.5613533
能够看到：
就α/β而言，XIVH更佳（α更大），而SPHB最差（α负）。
就夏普比率（更切当地说，是信息比率，因为我们漠视了无风险利率）而言，JDK是更好的，其次是SPY。那证明了大大都投资基金的表示不超越市场的看点。
显然，无论以哪种权衡原则，SPHB都是最差的：负α，负β比率和Sharpe比率。
JDK之所以可以获得更佳性能，是因为它的alpha值很好（虽然不是更好的），而同时具有0.88的中等beta值。
XIVH和SPHB有大量差别的beta，因而在市场上具有极端敞口。
USMV在市场上的曝光率最小，有可承受的alpha值，而且其Sharpe比率接近第二和第三高的位置。
Fama-French三因子模子
该示例将阐明利用原则普尔500指数中的九种股票的Fama-French三因子模子。让我们从加载数据起头：
# 设置起头完毕日期和股票名称列表
begin_date - "2013-01-01"
end_date - "2017-08-31"
# 从YahooFinance下载数据
data_set - xts()
for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
data_set - cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],
# 下载Fama-French因子
head(fama_lib)
# Mkt.RF SMB HML
# 1926-07-01 0.10 -0.24 -0.28
# 1926-07-02 0.45 -0.32 -0.08
# 1926-07-06 0.17 0.27 -0.35
# 1926-07-07 0.09 -0.59 0.03
# 1926-07-08 0.21 -0.36 0.15
# 1926-07-09 -0.71 0.44 0.56
tail(fama_lib)
# Mkt.RF SMB HML
# 2017-11-22 -0.05 0.10 -0.04
# 2017-11-24 0.21 0.02 -0.44
# 2017-11-27 -0.06 -0.36 0.03
# 2017-11-28 1.06 0.38 0.84
# 2017-11-29 0.02 0.04 1.45
# 2017-11-30 0.82 -0.56 -0.50
# 计算股票的对数收益率和Fama-French因子
X - diff(log(data_set), na.pad = FALSE)
N - ncol(X) #股票数量
如今我们在矩阵F中具有三个因子，并期看拟合模子，此中如今的载荷是一个beta矩阵：。我们能够做最小二乘拟合，最小化。更便利地，我们定义和扩展因子 。然后能够将LS公式写为最小化
print(Gamma)
# alpha b1 b2 b3
# AAPL 1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858
# AMD 6.181760e-04 1.4062105 0.80738336 -0.07240117
# ADI -2.285017e-05 1.2124008 0.09025928 -0.20739271
# ABBV 1.621380e-04 1.0582340 0.02833584 -0.72152627
# AEZS -4.513235e-03 0.6989534 1.31318108 -0.25160182
# A 1.146100e-05 1.2181429 0.10370898 -0.20487290
# APD 6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061 0.11060938
# AA -4.587722e-05 1.3391852 0.62590136 0.99858692
# CF -5.777426e-04 1.0387867 0.48430007 0.82014523
别的，我们能够利用R完成：
# alpha Mkt.RF SMB HML
# AAPL 1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858
# AMD 6.181760e-04 1.4062105 0.80738336 -0.07240117
# ADI -2.285017e-05 1.2124008 0.09025928 -0.20739271
# ABBV 1.621380e-04 1.0582340 0.02833584 -0.72152627
# AEZS -4.513235e-03 0.6989534 1.31318108 -0.25160182
# A 1.146100e-05 1.2181429 0.10370898 -0.20487290
# APD 6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061 0.11060938
# AA -4.587722e-05 1.3391852 0.62590136 0.99858692
# CF -5.777426e-04 1.0387867 0.48430007 0.82014523
统计因子模子
如今让我们考虑统计因子模子或隐式因子模子，此中因子和载荷均不成用。挪用具有 K因子的模子 XT =α1T+ BFT + ET的主成分办法：
样本均值：
矩阵：
样本协方差矩阵：
特征合成：
# alpha
# AAPL 0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226
# AMD 0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146 0.0114549515
# ADI 0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139
# ABBV 0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810
# AEZS -0.0041576357 0.0769496344 0.002935950 0.0006249473
# A 0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654
# APD 0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394
# AA 0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957
# CF -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661
同样，我们能够利用R完成工做：
# alpha factor1 factor2 factor3
# AAPL 0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226
# AMD 0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146 0.0114549515
# ADI 0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139
# ABBV 0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810
# AEZS -0.0041576357 0.0769496344 0.002935950 0.0006249473
# A 0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654
# APD 0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394
# AA 0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957
# CF -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661
通过差别因子模子停止协方差矩阵估量的最末比力
我们最末将比力以下差别的因子模子：
样本协方差矩阵
宏看经济一因素模子
根本的三因素Fama-French模子
统计因素模子
我们在操练阶段估量模子，然后将估量的协方差矩阵与测试阶段的样本协方差矩阵停止比力。估量误差将根据PRIAL（均匀缺失进步百分比）停止评估：
加载操练和测试集：
# 设置起头完毕日期和股票名称列表
begin_date - "2013-01-01"
end_date - "2015-12-31"
# 预备股票数据
data_set - xts()
for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
data_set - cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],
# Fama-French 因子
mydata - mydata[-nrow(mydata),
# 预备指数
f_SP500 - diff(log(SP500_index), na.pad = FALSE)
# 将数据拆分为操练数据和测试数据
T_trn - round(0.45*T)
X_trn - X[1:T_trn, ]
X_tst - X[(T_trn+1):T, ]
如今让我们用操练数据预算差别的因子模子：
# 样本协方差矩阵
Sigma_SCM - cov(X_trn)
# 单因素模子
Gamma - t(solve(t(F_) %*% F_, t(F_) %*% X_trn))
E - xts(t(t(X_trn) - Gamma %*% t(F_)), index(X_trn))
# Fama-French三因子模子
Sigma_FamaFrench - B %*% cov(F_FamaFrench_trn) %*% t(B) + diag(diag(Psi))
# 统计单因子模子
while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") 1e-3) {
B - eigSigma$vectors[, 1:K, drop = FALSE] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)
# 统计三因子模子
K - 3
while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") 1e-3) {
B - eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)
Psi - diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))
Sigma_PCA3 - Sigma
# 统计五因子模子
K - 5
eigSigma - eigen(Sigma)
while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") 1e-3) {
B - eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)
Psi - diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))
最初，让我们比力测试数据中的差别估量：
Sigma_true - cov(X_tst)
barplot(error, main = "协方差矩阵估量误差",
PRIAL - 100*(ref - error^2)/ref
barplot(PRIAL, main = "协方差矩阵估量的先验办法",
最末能够看到利用因子模子停止协方差矩阵估量会有所搀扶帮助。
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本文选自《R语言Fama-French三因子模子现实利用：优化投资组合》。
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R语言中的岭回回、套索回回、主成分回回：线性模子抉择和正则化