星期天，小明和七名同学共八人去郊游，途中他用二十元钱去买饮，商店只有可乐和奶茶，已知可乐二元一杯

（1）设买可乐的杯数为 \( x \)，买奶茶的杯数为 \( y \)，根据题意，我们有方程：

\[ 2x + 3y = 20 \]

\( x \) 和 \( y \) 都必须是非负整数。

我们可以尝试找出所有满足这个方程的整数对 \( (x, y) \)。

- \( x = 0 \)，\( 3y = 20 \)，这不可能，因为 \( y \) 必须是一个非负整数。

- \( x = 1 \)，\( 3y = 18 \)，\( y = 6 \)，这是有效的对。

- \( x = 2 \)，\( 3y = 16 \)，这不可能，因为 \( y \) 必须是一个非负整数。

- \( x = 3 \)，\( 3y = 14 \)，这不可能，因为 \( y \) 必须是一个非负整数。

- \( x = 4 \)，\( 3y = 12 \)，\( y = 4 \)，这是有效的对。

- \( x = 5 \)，\( 3y = 10 \)，\( y = \frac{10}{3} \)，这不是一个整数。

- \( x = 6 \)，\( 3y = 8 \)，\( y = \frac{8}{3} \)，这不是一个整数。

- \( x = 7 \)，\( 3y = 6 \)，\( y = 2 \)，这是有效的对。

- \( x = 8 \)，\( 3y = 4 \)，\( y = \frac{4}{3} \)，这不是一个整数。

满足条件的购买方式有：

1、可乐1杯，奶茶6杯。

2、可乐7杯，奶茶2杯。

3、可乐4杯，奶茶4杯。

4、可乐1杯，奶茶1杯。

（2）根据题意，每人至少喝一杯饮料且奶茶至少喝2杯时，即 \( y \geq 2 \) 且 \( x + y \geq 8 \)。

从方程 \( 2x + 3y = 20 \) 中，我们可以看到 \( y \geq 2 \)，为了满足 \( x + y \geq 8 \)，当 \( x = 6 \) 时，\( y = 2 \) 是一个有效对，因为：

\[ x + y = 6 + 2 = 8 \]

唯一一种满足条件的购买方式是：

- 可乐6杯，奶茶2杯。

小明和他的同学有四种购买方式：可乐1杯，奶茶6杯；可乐7杯，奶茶2杯；可乐4杯，奶茶4杯；可乐1杯，奶茶1杯，而唯一一种满足每人至少喝一杯饮料且奶茶至少喝2杯的方式是可乐6杯，奶茶2杯。